すごいけど、学生にとては迷惑だぜ!
関数(かんすう、function)とは、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式のことである。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されていき、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。
日本語としての関数はもともと「函数」と書く。これは英語 function の中国における訳語(※)である函数(ハンスー)をそのまま輸入したものであるが、「函」が漢字制限による当用漢字(その後の常用漢字)に含まれなかったことから1950年代以降、同音の「関」へと書き換えがすすめられた。
二つの変数 x と y があり、入力 x に対して、出力 y の値を決定する規則(x に特定の値を代入するごとに y の値が確定する)が与えられているとき、変数 y を「x を独立変数とする関数」あるいは簡単に「x の関数」という。対応規則を明示するときは、適当な文字列(特に何か理由がなければ、function の頭文字から f が選ばれることが多い)を使って
y = f(x)
のように対応規則に名前を付与する。x の関数 y を f(x) と書いて、x = a を代入したときに決まる関数の値を f(a) と表すのである。しかしここで、定数関数の例に示されるように、個々の y の値について対応する x の値が一つに決まるとは限らないことに注意しなければならない。この f(x) という表記法は18世紀の大数学者オイラーによるものである。オイラー自身は、変数や定数を組み合わせてできた数式のことを関数と定義していたが、コーシーは上に述べたように、 y という変数を関数と定義した。
y が x の関数であることの別の表現として、変数 y は変数 x に従属するともいい、y を従属変数 (dependent variable) と言い表す。独立変数がとりうる値の全体(変域)を、この関数の定義域 (domain) といい、独立変数が定義域のあらゆる値をとるときに、従属変数がとりうる値(変域)を、この関数の値域 (range) という。
関数の値域は実数 R や複素数 C の部分集合であることが多い。値域が実数の集合となる関数を実数値関数 (real valued function) といい、値域が複素数の集合となる関数を複素数値関数 (complex valued function) という。それぞれ定義域がどのような集合であるかは問わないが、定義域も値域も実数の集合であるような関数を実関数 (real function) といい、定義域も値域も複素数の集合であるような関数を複素関数 (complex function) という。
ディリクレは、 x と f(x) の対応関係に対して一定の法則性を持たせる必要は無いとした。つまり、個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数であり、その対応は数式などで表す必要はないという、オイラーとは異なる立場をとっている。
集合論的立場に立つ現代数学では、ディリクレのように関数を対応規則 f のことであると解釈する。それは二項関係の特別の場合として関数を定義するということであり、関数を集合(特に実数全体の集合 R)から「数」のつくる集合への写像であると捉えるということである。よって、写像に用いる言葉をそのまま流用することがある:
合成(合成関数)
全射、単射、全単射
逆(逆関数)
などを挙げることができるだろう。一方で、関数は一般の写像とは異なる性質も持つ。たとえば、像による演算が定義できることである: x を任意として、
(f + g)(x): = f(x) + g(x),
(f − g)(x): = f(x) − g(x),
(fg)(x): = f(x)g(x),
(f / g)(x): = f(x) / g(x)
などが挙げられる。
(以上、ウィキペディアより引用)
実際大人になっても使う人なんて少ないのに…。
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